Пределы 10 кл.
Предел функции f(x) при x→a — это значение, к которому стремится f(x), когда x приближается к a.
Замечательные пределы
lim (sin x)/x = 1 (x→0)
lim (1 + 1/n)ⁿ = e (n→∞)
lim (1 + x)^(1/x) = e (x→0)
lim (1 + 1/n)ⁿ = e (n→∞)
lim (1 + x)^(1/x) = e (x→0)
Свойства пределов
- lim [f ± g] = lim f ± lim g
- lim [f · g] = lim f · lim g
- lim [f/g] = lim f / lim g (lim g ≠ 0)
- lim c = c (константа)
- lim xⁿ = aⁿ при x→a
Непрерывность
- f непрерывна в точке a, если lim f(x) = f(a)
- Точки разрыва: устранимые, полюс, существенный
- Элементарные функции непрерывны в области определения
Производная 10–11 кл.
Производная — мгновенная скорость изменения функции. Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной.
Определение
f'(x) = lim [f(x+Δx) − f(x)] / Δx (Δx → 0)
Уравнение касательной
y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)
| Функция f(x) | Производная f'(x) |
|---|---|
| C (константа) | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| ln x | 1/x |
| logax | 1/(x ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1−x²) |
| arccos x | −1/√(1−x²) |
| arctg x | 1/(1+x²) |
Правила дифференцирования 10–11 кл.
Основные правила
- (cf)' = c·f'
- (f ± g)' = f' ± g'
- (fg)' = f'g + fg'
- (f/g)' = (f'g − fg') / g²
Сложная функция (цепное правило)
- (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
- (sin 2x)' = cos 2x · 2 = 2cos 2x
- (e^(x²))' = e^(x²) · 2x
- (ln(x²+1))' = 2x/(x²+1)
Пример — производная сложной функции
f(x) = sin(3x² − 1)
f'(x) = cos(3x² − 1) · (3x²−1)' = cos(3x²−1) · 6x = 6x cos(3x²−1)
f'(x) = cos(3x² − 1) · (3x²−1)' = cos(3x²−1) · 6x = 6x cos(3x²−1)
Исследование функций 11 кл.
Схема полного исследования функции позволяет построить точный график.
Схема исследования
- 1. Область определения D(f)
- 2. Чётность/нечётность
- 3. Нули функции: f(x) = 0
- 4. Монотонность: знак f'(x)
- 5. Экстремумы: f'(x) = 0 или ∄
- 6. Выпуклость: знак f''(x)
- 7. Точки перегиба: f''(x) = 0
- 8. Асимптоты
Критерии экстремума
- Точка минимума: f' меняется + → −
- Точка максимума: f' меняется − → +
- Или: f'(x₀)=0 и f''(x₀)>0 → min
- f'(x₀)=0 и f''(x₀)<0 → max
- Наибольшее/наименьшее значение на отрезке: сравни экстремумы и значения на концах
Асимптоты
Вертикальная: x = a, если lim f(x) = ±∞
Горизонтальная: y = b, если lim f(x) = b (x→±∞)
Наклонная: y = kx + b, где k = lim f(x)/x, b = lim (f(x)−kx)
Горизонтальная: y = b, если lim f(x) = b (x→±∞)
Наклонная: y = kx + b, где k = lim f(x)/x, b = lim (f(x)−kx)
Первообразная и неопределённый интеграл 11 кл.
Первообразная F(x) функции f(x) — функция, у которой F'(x) = f(x).
Неопределённый интеграл: ∫ f(x) dx = F(x) + C
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/√(1−x²) | arcsin x + C |
| 1/(1+x²) | arctg x + C |
Определённый интеграл 11 кл.
Формула Ньютона–Лейбница
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Геометрический смысл
- ∫ₐᵇ f(x) dx — площадь фигуры между графиком y=f(x) и осью Ox на [a,b]
- Если f(x) < 0 на [a,b], то интеграл отрицательный → берём модуль для площади
Площадь между графиками
- S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx
- Если f ≥ g на [a,b]: S = ∫ₐᵇ (f(x)−g(x)) dx
- Найди точки пересечения: f(x) = g(x)
Пример
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3