Степени и корни 10 кл.
Степень с целым показателем обобщается до рационального и иррационального показателя.
Свойства степеней
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0)
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- a⁰ = 1 (a≠0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Дробный показатель
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
- √(a·b) = √a · √b
- √(a/b) = √a / √b (b>0)
- (√a)² = a (a≥0)
- √(a²) = |a|
Пример
Упростить: 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4
Логарифмы 10 кл.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель, в который нужно возвести a, чтобы получить b.
Определение
loga b = x ⟺ aˣ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Свойства логарифмов
- loga(bc) = logab + logac
- loga(b/c) = logab − logac
- loga(bⁿ) = n·logab
- logaa = 1
- loga1 = 0
- a^(logab) = b
Формула перехода
- logab = logcb / logca
- logab = 1 / logba
- lg x = log10x
- ln x = logex
- loga²b = ½·logab
Пример
log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5 | log₃ 27 + log₃ (1/9) = 3 + (−2) = 1
Тригонометрия 10–11 кл.
Основные тождества
sin²α + cos²α = 1 tg α = sin α / cos α ctg α = cos α / sin α
| α | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | — |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
Формулы сложения
- sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
- sin(α−β) = sinα cosβ − cosα sinβ
- cos(α+β) = cosα cosβ − sinα sinβ
- cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ
- tg(α+β) = (tgα+tgβ)/(1−tgα·tgβ)
Формулы двойного угла
- sin 2α = 2 sinα cosα
- cos 2α = cos²α − sin²α
- cos 2α = 1 − 2sin²α
- cos 2α = 2cos²α − 1
- tg 2α = 2tgα / (1 − tg²α)
Уравнения 10–11 кл.
Простейшие тригонометрические
sin x = a → x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n∈ℤ
cos x = a → x = ±arccos a + 2πn, n∈ℤ
tg x = a → x = arctg a + πn, n∈ℤ
cos x = a → x = ±arccos a + 2πn, n∈ℤ
tg x = a → x = arctg a + πn, n∈ℤ
Показательные уравнения
aˣ = aᵇ ⟺ x = b aˣ = b ⟺ x = logab (a>0, a≠1, b>0)
Логарифмические уравнения
loga f(x) = loga g(x) ⟺ f(x) = g(x) при f(x) > 0
Пример — показательное уравнение
2ˣ⁺¹ = 8 ⟹ 2ˣ⁺¹ = 2³ ⟹ x+1 = 3 ⟹ x = 2
Неравенства 10–11 кл.
Показательные неравенства
- Если a > 1: aˣ > aᵇ ⟺ x > b
- Если 0 < a < 1: aˣ > aᵇ ⟺ x < b
- При замене переменной знак сохраняется / меняется в зависимости от основания
Логарифмические неравенства
- Если a > 1: logaf > logag ⟺ f > g > 0
- Если 0 < a < 1: logaf > logag ⟺ 0 < f < g
- Обязательна ОДЗ: f(x) > 0 и g(x) > 0
Прогрессии 10 кл.
Арифметическая прогрессия
- aₙ = a₁ + (n−1)d
- Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n
- Sₙ = n·a₁ + n(n−1)/2 · d
- aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Геометрическая прогрессия
- bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
- Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1), q≠1
- S = b₁/(1−q), |q| < 1 (бесконечная)
- bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Комплексные числа 11 кл.
Комплексное число z = a + bi, где a, b ∈ ℝ, i² = −1.
Основные понятия
|z| = √(a² + b²) — модуль
z̄ = a − bi — сопряжённое
z · z̄ = a² + b² = |z|²
z̄ = a − bi — сопряжённое
z · z̄ = a² + b² = |z|²
Алгебраическая форма
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- (a+bi)/(c+di) — умножить на c−di
Тригонометрическая форма
- z = r(cosφ + i sinφ)
- r = |z|, φ = arg z
- z₁·z₂: r₁·r₂, φ₁+φ₂
- z¹/z₂: r₁/r₂, φ₁−φ₂
- Формула Муавра: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ)