Планиметрия 10 кл.
Треугольник
- S = ½ a·h
- S = ½ ab sinC
- S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) — Герон
- Теорема косинусов: c² = a²+b²−2ab cosC
- Теорема синусов: a/sinA = b/sinB = 2R
Окружность
- S = πR²
- C = 2πR
- Длина дуги: l = Rα (α в рад.)
- Площадь сектора: S = ½R²α
- Центральный угол = 2 · вписанному
Параллелограмм и ромб
- S□ = a·h = ab sinφ
- S ромба = ½ d₁d₂
- S трапеции = ½(a+b)·h
- Площадь правильного n-угольника: S = ¼na²ctg(π/n)
Прямоугольный треугольник
- a² + b² = c² (теорема Пифагора)
- sin α = противолежащий / гипотенуза
- cos α = прилежащий / гипотенуза
- tg α = противолежащий / прилежащий
- Медиана к гипотенузе = R описанной окружности
Векторы 10 кл.
Вектор — направленный отрезок. Обозначается a⃗ или AB⃗.
Скалярное произведение
a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ a⃗ · b⃗ = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_z b_z
Операции с векторами
- |a⃗| = √(aₓ² + aᵧ² + a_z²)
- a⃗ ⊥ b⃗ ⟺ a⃗·b⃗ = 0
- a⃗ ∥ b⃗ ⟺ a⃗ = λb⃗
- cos φ = (a⃗·b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|)
Векторное уравнение прямой
- r⃗ = r⃗₀ + t·d⃗, t ∈ ℝ
- Где d⃗ — направляющий вектор
- Нормальный вектор ⊥ плоскости
- Уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0
Пример — угол между векторами
a⃗ = (1, 2, 2), b⃗ = (0, 1, 0)
a⃗·b⃗ = 0+2+0 = 2 |a⃗| = 3 |b⃗| = 1
cos φ = 2/3 ⟹ φ = arccos(2/3) ≈ 48°
a⃗·b⃗ = 0+2+0 = 2 |a⃗| = 3 |b⃗| = 1
cos φ = 2/3 ⟹ φ = arccos(2/3) ≈ 48°
Координатный метод 10 кл.
Расстояния
Между точками: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
От точки до плоскости: d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
От точки до прямой: d = |a⃗ × b⃗| / |b⃗|
От точки до плоскости: d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
От точки до прямой: d = |a⃗ × b⃗| / |b⃗|
Уравнения в пространстве
- Плоскость: Ax+By+Cz+D=0
- Сфера: (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R²
- Прямая: (x−x₀)/l = (y−y₀)/m = (z−z₀)/n
Угол между плоскостями
- cos φ = |A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂| / (|n⃗₁|·|n⃗₂|)
- Плоскости ⊥, если n⃗₁·n⃗₂ = 0
- Плоскости ∥, если n⃗₁ = λn⃗₂
Стереометрия 11 кл.
Основные аксиомы
- Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость
- Если 2 точки прямой лежат в плоскости — вся прямая лежит в плоскости
- Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую
Параллельность и перпендикулярность
- Прямая ⊥ плоскости ⟺ ⊥ 2 пересекающимся прямым в ней
- Прямые ∥, если лежат в параллельных плоскостях
- Двугранный угол — угол между полуплоскостями
- Угол при основании пирамиды — между боковой гранью и основанием
Тела вращения 11 кл.
Цилиндр
- S бок = 2πRh
- S полн = 2πR(R+h)
- V = πR²h
Конус
- l = √(R²+h²) — образующая
- S бок = πRl
- S полн = πR(R+l)
- V = ⅓πR²h
Шар и сфера
- S сферы = 4πR²
- V шара = 4/3 πR³
- Сечение шара — круг
- Наибольшее сечение — большой круг
Площади и объёмы многогранников 11 кл.
| Фигура | Объём | S полная |
|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | abc | 2(ab+bc+ac) |
| Куб | a³ | 6a² |
| Правильная пирамида | ⅓ S осн · h | S осн + S бок |
| Правильный тетраэдр | a³√2/12 | a²√3 |
| Усечённая пирамида | h/3 (S₁+S₂+√(S₁S₂)) | S₁+S₂+S бок |
| Призма | S осн · h | 2·S осн + P·h |