Все формулы

Шпаргалка 10–11

Все ключевые формулы и теоремы программы — в одном месте

Показаны все карточки

Алгебра

Степени

  • aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  • (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  • a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
  • a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  • √(a²) = |a|

Логарифмы

  • loga b = x ⟺ aˣ = b
  • loga(bc) = logab + logac
  • loga(b/c) = logab − logac
  • loga(bⁿ) = n·logab
  • logab = logcb / logca
  • logab = 1/logba

Тригонометрия — основные

  • sin²α + cos²α = 1
  • tg α = sin α / cos α
  • 1 + tg²α = 1/cos²α
  • 1 + ctg²α = 1/sin²α
  • sin(π−α) = sin α
  • cos(π−α) = −cos α

Формулы двойного угла

  • sin 2α = 2 sinα cosα
  • cos 2α = cos²α − sin²α
  • cos 2α = 1 − 2sin²α
  • cos 2α = 2cos²α − 1
  • sin²α = (1 − cos 2α)/2
  • cos²α = (1 + cos 2α)/2

Прогрессии

  • aₙ = a₁ + (n−1)d (арифм.)
  • Sₙ = (a₁+aₙ)/2 · n
  • bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ (геом.)
  • Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1)
  • S∞ = b₁/(1−q), |q| < 1

Тригонометрические уравнения

  • sin x = a → x = (−1)ⁿ arcsin a + πn
  • cos x = a → x = ±arccos a + 2πn
  • tg x = a → x = arctg a + πn
  • sin x = 0 → x = πn
  • cos x = 0 → x = π/2 + πn

Начала анализа

Производные

  • (C)' = 0
  • (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
  • (sin x)' = cos x
  • (cos x)' = −sin x
  • (eˣ)' = eˣ
  • (ln x)' = 1/x
  • (aˣ)' = aˣ ln a
  • (tg x)' = 1/cos²x

Правила дифференцирования

  • (f±g)' = f'±g'
  • (cf)' = c·f'
  • (fg)' = f'g + fg'
  • (f/g)' = (f'g−fg')/g²
  • (f(g))' = f'(g)·g'
  • Касательная: y = f(x₀)+f'(x₀)(x−x₀)

Интегралы

  • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C
  • ∫1/x dx = ln|x|+C
  • ∫eˣ dx = eˣ+C
  • ∫sin x dx = −cos x+C
  • ∫cos x dx = sin x+C
  • ∫ₐᵇ f dx = F(b)−F(a)

Исследование функции

  • Возрастание: f'(x) > 0
  • Убывание: f'(x) < 0
  • Максимум: f'→0, (+→−)
  • Минимум: f'→0, (−→+)
  • Выпуклость: f''(x) < 0
  • Вогнутость: f''(x) > 0

Геометрия

Площади фигур

  • Треугольник: ½ah
  • Треугольник: ½ab sinC
  • Герон: √(p(p−a)(p−b)(p−c))
  • Параллелограмм: ah
  • Трапеция: ½(a+b)h
  • Круг: πR²

Объёмы тел

  • Куб: a³
  • Параллелепипед: abc
  • Призма: S·h
  • Пирамида: ⅓S·h
  • Цилиндр: πR²h
  • Конус: ⅓πR²h
  • Шар: 4/3·πR³

Векторы

  • |a⃗| = √(x²+y²+z²)
  • a⃗·b⃗ = xₐxᵦ+yₐyᵦ+zₐzᵦ
  • cos φ = a⃗·b⃗/(|a⃗||b⃗|)
  • a⃗⊥b⃗ ⟺ a⃗·b⃗ = 0
  • d(A,B) = |AB⃗|

Теоремы о треугольниках

  • Теорема Пифагора: a²+b²=c²
  • Теорема косинусов: c²=a²+b²−2ab cosC
  • Теорема синусов: a/sinA = 2R
  • R описанной = abc/(4S)
  • r вписанной = S/p

Вероятность и статистика

Комбинаторика

  • Перестановки: Pₙ = n!
  • Размещения: Aₙᵏ = n!/(n−k)!
  • Сочетания: Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!)
  • Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ
  • Σ Cₙᵏ = 2ⁿ

Вероятность

  • P(A) = m/n
  • P(Ā) = 1−P(A)
  • P(A+B) = P(A)+P(B)−P(AB)
  • P(AB) = P(A)·P(B|A)
  • P(AB) = P(A)·P(B) (независимые)

Формула Бернулли и Байеса

  • Pₙ(k) = Cₙᵏ·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ
  • P(B) = ΣP(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)
  • P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)/P(B)

Случайные величины

  • M(X) = Σxᵢ·pᵢ
  • D(X) = M(X²)−[M(X)]²
  • σ = √D(X)
  • M(X+Y) = M(X)+M(Y)
  • D(X+Y) = D(X)+D(Y) (незав.)