Раздел 04

Вероятность и статистика

Комбинаторика, классическая и условная вероятность, случайные величины и статистика

Комбинаторика 10 кл.

Комбинаторика — раздел математики, изучающий количество способов выбора и расстановки объектов.

Размещения (порядок важен)

  • Aₙᵏ = n! / (n−k)!
  • Из n элементов выбрать k и расставить
  • A₅² = 5!/3! = 20

Перестановки

  • Pₙ = n!
  • Все n элементов в разном порядке
  • P₅ = 120
  • 0! = 1 по определению

Сочетания (порядок не важен)

  • Cₙᵏ = n! / (k! · (n−k)!)
  • Из n элементов выбрать k
  • C₅² = 10
  • Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ
Формула бинома Ньютона (a + b)ⁿ = Σ Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k от 0 до n
Общий член: Tₖ₊₁ = Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Пример Сколько способов выбрать 3 человека из 7? C₇³ = 7!/(3!·4!) = 35

Классическая вероятность 10 кл.

Определение P(A) = m / n    где m — число благоприятных исходов, n — общее число исходов

Свойства вероятности

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • P(Ω) = 1 (достоверное событие)
  • P(∅) = 0 (невозможное событие)
  • P(Ā) = 1 − P(A) — противоположное

Сложение вероятностей

  • P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB)
  • Если A и B несовместны: P(A+B) = P(A)+P(B)
  • Несовместны, если P(AB) = 0
Умножение вероятностей P(A·B) = P(A) · P(B|A) — для зависимых событий
P(A·B) = P(A) · P(B) — если A и B независимы
Пример В урне 4 красных и 6 белых шаров. Вероятность вытащить красный: P = 4/10 = 0.4

Условная вероятность. Формула Байеса 11 кл.

Условная вероятность P(B|A) = P(AB) / P(A)
Формула полной вероятности P(B) = Σ P(Aᵢ) · P(B|Aᵢ)
Формула Байеса P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ) · P(B|Aᵢ) / P(B)

Формула Бернулли

  • Pₙ(k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
  • p — вероятность успеха, q = 1−p
  • k — число успехов из n испытаний

Режим испытаний

  • Наиболее вероятное k: (n+1)p − 1 ≤ k₀ ≤ (n+1)p
  • Если (n+1)p = целое, то k₀ = (n+1)p и k₀−1

Случайные величины 11 кл.

Случайная величина X принимает значения x₁, x₂, ... с вероятностями p₁, p₂, ...

Математическое ожидание и дисперсия M(X) = Σ xᵢ · pᵢ — матожидание (среднее значение)
D(X) = M(X²) − [M(X)]² — дисперсия
σ(X) = √D(X) — среднеквадратическое отклонение

Свойства M(X)

  • M(C) = C
  • M(CX) = C·M(X)
  • M(X+Y) = M(X)+M(Y)
  • Если X,Y независимы: M(XY) = M(X)·M(Y)

Свойства D(X)

  • D(C) = 0
  • D(CX) = C²·D(X)
  • D(X+C) = D(X)
  • Если X,Y независимы: D(X+Y) = D(X)+D(Y)
Пример — таблица распределения X: 1, 2, 3 с вероятностями 0.2, 0.5, 0.3
M(X) = 1·0.2 + 2·0.5 + 3·0.3 = 0.2+1+0.9 = 2.1

Элементы статистики 10–11 кл.

Описательная статистика

  • Среднее x̄ = (x₁+...+xₙ)/n
  • Медиана — средний элемент (при нечётном n) или среднее двух средних
  • Мода — наиболее часто встречающееся значение
  • Размах = max − min

Выборочные характеристики

  • Выборочная дисперсия: s² = Σ(xᵢ−x̄)²/n
  • Относительная частота: m/n
  • Частотная таблица и гистограмма
  • Накопленная частота (эмпирическая функция распределения)